Megoldás: 17.25
Vegyünk fel egy olyan elrendezést, amely megfelel a feltételnek, tehát csak kétféle távolság lép fel a pontok között. Négy síkbeli pont meghatároz legalább két távolságot, legyenek ezek
d és
d', legyen
d az a távolság, amelyik többször lép fel. Ha mindkettő háromszor lép fel, akkor mindegy, melyiket választjuk. Tekintsük azt a gráfot, amelynek pontjai e négy pont, és kössünk össze éllel két pontot, ha
d távolságra vannak egymástól. Ez a gráf legalább három élt tartalmaz és legfeljebb ötöt.
Ha a gráfnak öt éle van, ez csak egyféleképp lehetséges (négyszög és egy átló). A négyszög azt jelenti, hogy rombuszról van szó, és ha az egyik átlója is ugyanilyen hosszú, akkor egy 60 -os rombuszról van szó.
Ha a gráfnak négy éle van, akkor két eset van:
- Egy négyszögről van szó, ami azt jelenti, hogy a négyszög egy rombusz. A két átlója azonos -
d' - hosszúságú, tehát egy négyzetről van szó.
- Egy
ABC háromszögről és az egyik, például az
A csúcsából kiinduló egy további élről van szó. Tehát
A-tól a másik három pont (
B,
C és az eddig nem említett
D) egyforma távol van. Az
A köré írt
d sugarú körön van tehát a másik három pont. Másrészt
ABC egy
d oldalú szabályos háromszöget alkot. Az
A-tól
d távolságra levő
D pont két helyen lehet
BC felezőmerőlegesén.
A négyélű gráfok tehát három elrendezést adnak.
Ha a gráfnak három éle van, akkor három eset van:
- A gráf egy csillag, ez azt jelenti, hogy az egyik ponttól a másik három egyenlő
d távolságra van. Viszont a másik három pont egymástól egyenlő
d' távolságra van, tehát szabályos háromszöget alkot. Vagyis a
d közepű kör középpontjáról és a körbe írható szabályos háromszög három csúcsáról van szó, ez az elrendezés hasonlóság erejéig egyértelmű.
- A gráf egy háromszög és egy izolált pont. Ez a gráf az előző (a csillag) komplementere, tehát nem ad új elrendezést.
- A gráf egy három hosszú út. Ez azt jelenti, hogy a négy pont úgy helyezkedik el, hogy
AB=BC=CD és
AC=BD=AD. Ebből már következik, hogy egyenlőszárú trapézról van szó, amelynek átlói és a nagyobbik alapja egyenlők. Szögszámolással könnyen kiszámolható, hogy a trapéz szögei
108∘
és
72∘
, tehát egy olyan trapézról van szó, amelyet úgy kapunk, hogy a szabályos ötszög egyik csúcsát elhagyjuk.
A háromélű gráfok tehát két elrendezést adnak.
Összesen tehát hatféle elrendezést találtunk.