Feladat: 18.12.
([
173], 240. old.)
Bizonyítsuk be, hogy
2n-ig megadható
n darab különböző természetes szám úgy, hogy bármely kettő legkisebb közös többszöröse nagyobb legyen
2n-nél, de
n+1 szám már nem adható meg e tulajdonsággal.
Megoldás: 18.12
Vegyük az
n+1,n+2,…,2n számokat. Ezek közül bármely kettőnek
2n-nél nagyobb a legkisebb közös többszöröse. Legyen ugyanis két szám
n+i,n+k,
k>i. Legyen a legnagyobb közös osztójuk
d. Ekkor
n+i=md,
n+i+k=m'd, és
m'>m. Ezért
m'≥2. A legkisebb közös többszörösük pedig
.
Viszont ha akárhogyan adunk meg
n+1 különböző,
2n-nél nem nagyobb számot, a
18.11. feladat szerint van közöttük kettő, amelyek közül egyik osztója a másiknak, tehát a legkisebb közös többszörösük a nagyobbik szám kettejük közül, s ez legfeljebb
2n.