Megoldás: 1.2
Elég belátnunk, hogy egy
x2
+1 alakú számnak nem lehet
4k-1 alakú pozitív prímosztója. Hiszen ha ilyen nincs, akkor
4k-1 alakú pozitív osztója sem lehet, hiszen
4k-1 alakú pozitív szám nem állhat elő
4k-1 alakú prímek szorzataként. (Ezt már a
K.II.13.1. feladat megoldásában is használtuk.)
Tegyük fel, hogy valamely
x számra és valamely
p=4k-1 alakú prímre mégis igaz volna, hogy
azaz
volna mod
p. Emeljük mindkét oldalt
(p-1)/2-edik hatványra. A jobb oldalon
xp-1
-et kapunk, ami a ,,kis-Fermat" tétel szerint eggyel kongruens mod
p. Másrészt
(p-1)/2 páratlan, tehát a jobb oldal továbbra is
-1 lesz, ami ellentmondás.