Feladat: 10.7. [
199] A tébécé korai felismerésére alkalmazott röntgenszűrésnél a tapasztalatok szerint hibák is előfordulnak. A kezdeti állapotban a betegek körülbelül
10%-át nem veszi észre a teszt, míg körülbelül
20%-ban egyébként egészséges embernél is pozitív eredmény (azaz valami gyanús folt a tüdőn) adódik. Tudjuk, hogy hazánkban a tébécé előfordulása
0,3%.
a) Egy pozitív teszteredmény után mi az esélye, hogy tényleg tébécés az illető?
b) Ha negatív az eredmény, akkor mi az esélye, hogy tébécés?
c) Mindezek fényében vajon mire való ez a teszt?
Megoldás: 10.7
1. megoldás. Ábrázoljuk a hazai lakosságot, benne a tébécések és a nem tébécések valamint a pozitív illetve negatív teszteredményt produkálók halmazát az elemszámokkal területarányos ábrán.
1. ábra
A vastagvonalú alaphalmaz jelképeti hazánk lakosságát. A bal oldali vonalkázott rész az egészségeseket (azaz a nem tébécések részhalmazát), a jobb oldali ,,sima" rész a tébécéseket.
A szürke terület a pozitív tesztet produkálók részhalmaza.
Az egyes tartományok területe az egészhez képest:
fehér vonalkázott:
0,997·0,8=0,7976;
szürke vonalkázott:
0,997·0,2=0,1994;
fehér sima:
0,003·0,1=0,0003;
szürke sima:
0.003·0,9=0,0027;
Az egyes kérdések megfelelői az ábrán:
a) A szürke rész hanyad része sima?
0,0027
0,0027+0,1994
≈0,0133597229.
Tehát pozitív teszt esetén
1,33597229% a betegség esélye.
b) A fehér rész hanyad része sima?
0,0003
0,0003+0,7976
≈0,0003759870.
Tehát negatív teszt esetén csak
0,03759870% a betegség esélye.
c)
A pozitív teszt több mint négyzseresére növelte a betegség esélyét, a negatív teszt a kilencedére csökkentette. Csak pozitív teszt esetén érdemes az alaposabb (és feltehetően drágább) vizsgálatokat elvégezni.
2. megoldás. Jelölje ,,
B" és ,,
+" azt az eseményt, hogy egy véletlenül választott ember beteg (tébécés), illetve azt, hogy pozitív a tesztje. ,,
¬B" és ,,
-" ezek komplementer eseményét jelöli, tehát azt, hogy az ember nem tébécés, illetve azt, hogy teszteredménye negatív.
A megadott adatok a valószínűségek nyelvén:
|
p(+|B)=0,9, p(+|¬B)=0,2, p(B)=0,003 ⇒
|
|
⇒ p(-|B)=0,1, p(-|¬B)=0,8, p(¬B)=0,997.
|
Az a) feladat a
p(B|+), a b) feladat pedig a
p(B|-) feltételes valószínűség kiszámítása. Ezek Bayes tételével adódnak:
|
p(B|+)=
p(+|B)p(B)
p(+|B)p(B)+p(+|¬B)p(¬B)
=
0,9·0,003
0,9·0,003+0,2·0,997
=
|
|
p(B|-)=
p(-|B)p(B)
p(-|B)p(B)+p(-|¬B)p(¬B)
=
0,1·0,003
0,1·0,003+0,8·0,997
=
|
A c) kérdésre a
10.7M1. megoldásban olvasható a válasz.