Feladat: 7.10. [
193]
Emma, Fanni, Gitta és Hanna társasjátékhoz készülődik. Sorban egymás után dobnak egyet egy szabályos dobókockával - akár több körben is -, mert az lesz közülük a kezdő, aki elsőként dob hatost.
a) Mekkora valószínűséggel lesznek kezdők egy-egy kockadobás után az egyes résztvevők?
b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy nem tudják elkezdeni a játékot egy kör után?
c) Számítsuk ki mind a négy résztvevő esetében annak a valószínűségét, hogy négyük közül éppen ő kezdhet!
Megoldás: 7.10
a) Emma, Fanni, Gitta és Hanna rendre
1
6
≈0,1666666667,
5
6
·
1
6
≈0,1388888889,
|
(
5
6
)2
·
1
6
≈0,1157407407,
(
5
6
)3
·
1
6
≈0,0964506173
|
valószínűséggel lesz kezdő az első körben.
b) Átfogalmazva: ,,mekkora annak a valószínűsége, hogy az első négy dobás egyike sem hatos?".
Ennek valószínűsége
(
5
6
)4
=
625
1296
≈0,4822530864.
|
c) Jelölje Emma nyerési esélyét
p. Levezethető, hogy ekkor Fanni, Gitta és Hanna nyerési esélye rendre
5
6
p,
(
5
6
)2
p,
(
5
6
)3
p.
|
| (1) |
Mivel
0 annak az esélye, hogy soha sem lesz hatos, tehát
1 valószínűséggel lesz nyertes, így
p+
5
6
p+
(
5
6
)2
p+
(
5
6
)3
p=1,
|
azaz
p=
1
1+
5
6
+
(
5
6
)2
+
(
5
6
)3
=
1-
5
6
1-
(
5
6
)4
=
|
=
63
64
-
54
=
216
671
≈0,3219076006.
|
Tehát Fanni, Gitta és Hanna nyerési esélyének közelítő értéke (
1) alapján rendre
0,2682563338301043219, 0,2235469449, 0,1862891207.
|