Feladat: 9.5. [
84]
IMO 1982 Belgium feladatjavaslat
A ,,Híres Matematikusok Csokoládé" csomagolásában található egy kis kép, 20 híres matematikus portréja közül az egyik. Mindegyik híresség képe egyenlő, tehát
1
20
eséllyel található mindegyik csokiban. Átlagosan hány csokoládé vásárlásával gyűjthető össze mind a
20 kép?
Megoldás: 9.5
Ha
k szín van és azok közül
l rögzített szín előfordulására várunk, akkor az első előfordulás
l
k
paraméterű geometriai eloszlású, így annak várható értéke, az
l szín első megjelenésének átlagos ideje
k
l
.
Először várunk a
20 közül bármelyik szín megjelenésére (
k=20,
l=20). Ez természetesen az első húzásnál bekövetkezik:
k
l
=
20
20
=1. Ezután a
20-ból már csak a maradék
19 bekövetkezésére várunk: most
k=20 és
l=19, tehát átlagosan
20
19
lépést kell várnunk. És így tovább, ha már megjelent
(i-1) szín, akkor az
i-edik megjelenésére átlagosan
20
21-i
lépést kell várni. A várható értékek összeadódnak:
E=20·(
1
20
+
1
19
+
1
18
+…+
1
3
1+
1
2
+1).
|