Feladat: 12.1.
A juhászfiúból lett mesebeli vitéznek három próbát kell kiállnia. Az egyes próbákon a többitől függetlenül 2/3 valószínűséggel jut túl. A falujából indul és ha egy próbát teljesít, mehet a következőre. Ha az nem sikerül, akkor vissza kell fordulnia, és újra neki kell vágnia az előző, korábban már teljesített próbának. Ha bármikor befuccsol a legelső próbán, akkor vége a mesének, kulloghat haza.
Mennyi az esélye, hogy a vitéz teljesíti mind a három próbát?
Megoldás: 12.1
1. megoldás.
A próbának öt állapota van:
V - a vitéz vesztett,
A0
- még három-,
A1
- még két-,
A2
- még egy próba van a vitéz előtt,
Ny - a vitéz nyert.
Jelölje az egyes állapotokból indulva a vitéz nyerési esélyét
pV
,
p0
,
p1
,
p2
és
pNy
. Értelemszerűen
pV
=0 és
pNy
=1, míg a többi ismeretlen valószínűségre felírható egy egyenletrendszer.
1. ábra
Az
1. ábra alapján:
p0
=
1
3
·0+
2
3
·
p1
,
p1
=
1
3
·
p0
+
2
3
·
p2
,
p2
=
1
3
·
p1
+
2
3
·1.
|
Az első és utolsó egyenletből kifejezzük
p1
-gyel
p0
-t illetve
p2
-t és ezeket a középső egyenletbe helyettesítjük:
p1
=
1
3
·(
2
3
·
p1
)+
2
3
·(
1
3
·
p1
+
2
3
·1),
|
azaz
p1
=
4
9
p1
+
4
9
, ⇒
5
9
p1
=
4
9
, ⇒
p1
=
4
5
,
|
és ebből a keresett valószínűség
p0
=
2
3
·
p1
=
8
15
.
2. megoldás.
8
15
. A feladat a
12.2. feladatban vizsgált Ferde foci egyik változata, a vitéz a
[0,4] pályán ,,focizik",
b=
1
3
eséllyel balra,
j=
2
3
eséllyel jobbra lép,
1-ről indul és
4-be szeretne jutni.