Feladat: 12.1.
A juhászfiúból lett mesebeli vitéznek három próbát kell kiállnia. Az egyes próbákon a többitől függetlenül 2/3 valószínűséggel jut túl. A falujából indul és ha egy próbát teljesít, mehet a következőre. Ha az nem sikerül, akkor vissza kell fordulnia, és újra neki kell vágnia az előző, korábban már teljesített próbának. Ha bármikor befuccsol a legelső próbán, akkor vége a mesének, kulloghat haza. Mennyi az esélye, hogy a vitéz teljesíti mind a három próbát?
 

Megoldás: 12.1
1. megoldás. A próbának öt állapota van: V - a vitéz vesztett, A0 - még három-, A1 - még két-, A2 - még egy próba van a vitéz előtt, Ny - a vitéz nyert. Jelölje az egyes állapotokból indulva a vitéz nyerési esélyét pV , p0 , p1 , p2 és pNy . Értelemszerűen pV =0 és pNy =1, míg a többi ismeretlen valószínűségre felírható egy egyenletrendszer.

1. ábra

Az 1. ábra alapján:

p0 = 1 3 ·0+ 2 3 · p1 ,       p1 = 1 3 · p0 + 2 3 · p2 ,       p2 = 1 3 · p1 + 2 3 ·1.

Az első és utolsó egyenletből kifejezzük p1 -gyel p0 -t illetve p2 -t és ezeket a középső egyenletbe helyettesítjük:

p1 = 1 3 ·( 2 3 · p1 )+ 2 3 ·( 1 3 · p1 + 2 3 ·1),

azaz

p1 = 4 9 p1 + 4 9 ,   ⇒    5 9 p1 = 4 9 ,   ⇒    p1 = 4 5 ,

és ebből a keresett valószínűség p0 = 2 3 · p1 = 8 15 .
 
2. megoldás. 8 15 . A feladat a 12.2. feladatban vizsgált Ferde foci egyik változata, a vitéz a [0,4] pályán ,,focizik", b= 1 3 eséllyel balra, j= 2 3 eséllyel jobbra lép, 1-ről indul és 4-be szeretne jutni.