Feladat: 6.4. [
67]
Egy repülőgéptársaság nyilvántartásában szereplő utolsó
16222 helyfoglalásból
2357-et lemondtak. Ezért a társaság kis rátartással több helyet enged lefoglalni, mint ahány elfoglalható hely van.
a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy
125 ülőhelyre
135 helyfoglalás mellett lesz valaki, akinek nem jut hely?
b)
125 hely esetén mekkora túlfoglalást tartunk ésszerűnek?
c) Hasonló adatok mellett egy másik repülőtársaság
21 fős várólistát fogad el. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a teljes várólista az utaslistára kerül?
Megoldás: 6.4
a) A lemondások száma
p=
2357
16222
≈0,1452965110,
m=135 paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó (
χ). Tehát annak valószínűsége, hogy épp
k ember mondja le a jegyét
p(χ=k)=(
135
k
)
pk
(1-p
)135-k
.
|
Ezt a
k=0,
1,
2, ... ,
9 értékekre gyorsan kiszámolhatjuk táblázatkezelő szoftverrel, lásd
k |
p(χ=k) |
0 |
0,0000000006 |
1 |
0,0000000143 |
2 |
0,0000001631 |
3 |
0,0000012290 |
4 |
0,0000068945 |
5 |
0,0000307073 |
6 |
0,0001131029 |
7 |
0,0003543279 |
8 |
0,0009637513 |
9 |
0,0023118833 |
Pontosan akkor nem fér fel mindenki a gépre, ha a lemondók száma kevesebb
10-nél. Tehát a fenti táblázat második oszlopában álló számok összege ad választ az a) feladat kérdésére:
0,0037820742-annak az esélye, hogy valakinek nem jut hely.
b,c) Az
fájlokban (Excel ill. OpenOffice.Calc) kiszámoltuk
n túlfoglalás (tehát
125+n foglalás) esetén annak esélyét, hogy éppen
k-en mondják le az utazást minden olyan
n-re és
k-ra, amelyre
n∈{1,2,…,21} és
0≤k≤n-1.
Minden egyes
n-re összegeztük az értékeket
k=0-tól
n-1-ig, tehát kiszámoltuk annak valószínűségét, hogy
n túlfoglalás esetén lesz olyan jegytulajdonos, aki nem fér fel a gépre. Az alábbi táblázatban ezeket az értékeket
n=21-től
n=7-ig soroljuk fel:
n | |
21 |
0,444279576 |
20 |
0,365095602 |
19 |
0,28992568 |
18 |
0,22166352 |
17 |
0,162526245 |
16 |
0,113799578 |
15 |
0,075744521 |
14 |
0,047682404 |
13 |
0,028229768 |
12 |
0,015617663 |
11 |
0,008014522 |
10 |
0,003782074 |
9 |
0,001624316 |
8 |
0,00062688 |
7 |
0,000213958 |
Látható, hogy
21 túlfoglalásnál már a gépek közel felében gond lenne a túlfoglalás miatt,
15 túlfoglalásnál a probléma a gépek kevesebb mint tizedét, míg
11 túlfoglalásnál kevesebb, mint századát érintené.
Az utóbbi már bizonyára jó érték, de nehéz egyéb adatok nélkül eldönteni mi elfogadható: pl egészen más a helyzet ha naponta több járat is megy az adott irányba vagy ha hetente csak egy.