Feladat: 10.8. [
195] Tudjuk, hogy egy gyakorlatban résztevevő
18 lövész négy csoportba sorolható úgy, hogy közülük öten
0,8, heten
0,7, négyen
0,6, ketten
0,5 valószínűséggel találnak a céltáblára. Véletlenül meglátunk közülük egy lövészt, aki egy lövést ad le, de ez nem talál a céltáblára. Melyik csoporthoz tartozik a legnagyobb valószínűséggel ez a lövész és mennyi ez a valószínűség?
Megoldás: 10.8
Tekintsük az alábbi eseményeket:
a lövész az első (ötfős) csoportba tartozik (
C5
), a második (hétfős) csoportba (
C7
),
a harmadik (négyfős) csoportba (
C4
),
a negyedik (kétfős) csoportba (
C2
),
a lövész nem találja el a céltáblát (
T/T).
A lövészek száma
5+7+4+2=18, így a megadott adatok szerint:
|
p(
C5
)=
5
18
; p(
C7
)=
7
18
; p(
C4
)=
4
18
; p(
C2
)=
2
18
,
|
és
|
p(T/T|
C5
)=1-0,8=
2
10
; p(T/T|
C7
)=1-0,7=
3
10
;
|
|
p(T/T|
C4
)=1-0,6=
4
10
; p(T/T|
C2
)=1-0,5=
5
10
.
|
Alkalmazzuk a Bayes-tételt a
C5
,
C7
,
C4
,
C2
teljes eseményrendszerre és a
T/T eseményre:
|
p(
C5
|T/T)=
p(T/T|
C5
)p(
C5
)
p(T/T|
C5
)p(
C5
)+p(T/T|
C7
)p(
C7
)+p(T/T|
C4
)p(
C4
)+p(T/T|
C2
)p(
C2
)
=
|
|
=
2
10
·
5
18
2
10
·
5
18
+
3
10
·
7
18
+
4
10
·
4
18
+
5
10
·
2
18
=
10
10+21+16+10
=
10
57
≈0,17543859649;
|
és ehhez hasonlóan
|
p(
C7
|T/T)=
21
57
≈0,3684210526; p(
C4
|T/T)=
16
57
≈0,2807017544;
|
|
p(
C2
|T/T)=
10
57
≈0,17543859649.
|
Tehát a második (hétfős) csoporthoz tartozik a lövész a legnagyobb valószínűséggel. Ez a valószínűség
21
57
≈0,3684210526.