Feladat: 12.2.
Ferde foci Két játékos - A és B - a [0;6] intervallumon focizik, a 0 az A játékos kapuja, míg a 6 a B játékosé. A labda kezdetben a 2-n áll. Egy lépés abból áll, hogy feldobnak egy szabályos érmét, és ha ,,Fej" lesz, akkor eggyel jobbra (nagyobb számra), ha ,,Írás". akkor eggyel balra (kisebb számra) teszik a ,,labdát". A nyer, ha B kapujába - azaz 6-ra - ér a labda, míg B nyer, ha A kapujába, a 0-ba kerül a labda. a) Melyik játékosnak mennyi a nyerési esélye? b) Mennyi a döntetlen esélye, tehát mennyi a valószínűsége, hogy sose kerül egyik kapuba se a labda? c) Hogyan változik a válasz az a), b) kérdésekre, ha nem pénzérmével, hanem szabályos dobókockával dobnak, és 1 valamint 2 esetén balra, 3, 4, 5 és 6 esetén jobbra tolják a labdát?
 

Megoldás: 12.2
b) A keresett valószínűség 0. A valszamgeomeloszlas110ha. feladat alapján ugyanis világos, hogy 1 valószínűséggel lesz n=6 egymás utáni dobás, amelyik mind fej. Ennyi egymást követő fej dobás biztos beviszi az egyik kapuba a labdát.

a) Jelölje az A játékos nyerési esélyét - tehát azt, hogy a 6-os kapuba kerül a labda - pi , ha kezdetben az i számnál áll a bőrgolyó. Az értelmezés szerint tehát p0 =0 és p6 =1. Ha a labda b valószínűséggel megy balra és 1-b=j valószínűséggel jobbra, akkor

pk =b· pk-1 +j· pk+1 , ha k∈{1,2,3,4,5},

(1)

az a) feladatban tehát

pk = pk-1 + pk+1 2 .

(2)

A { pk } sorozat bármelyik tagja a szomszédainak számtani közepe, tehát ez a sorozat számtani sorozat. A sorozat 0. tagja 0, a 6. tagja 1, közötte egyenletesen oszlik el:

p1 = 1 6 ,       p2 = 2 6 ,       p3 = 3 6 ,       p4 = 4 6 ,       p5 = 5 6

A kérdezett valószínűség tehát p2 = 1 3 .

c) A fenti (1) képletet most a b= 1 3 , j= 2 3 paraméterekkel kell alkalmazni, tehát (2) analogonjaként a

pk = 1· pk-1 +2· pk+1 3

(3)

összefüggéshez jutunk. Képzeljük el a

p0 ,    p1 ,    p2 ,    p3 ,    p4 ,    p5 ,    p6

számokat a számegyenesen. A (3) formula a vektorgeometriából ismert: gondoljunk az osztópont helyvektorára. Ha így nézünk rá, akkor (3) elárulja, hogy a pk számnak megfelelő pont a számegyenesen a pk-1 , pk+1 számoknak megfelelő pontok harmadolópontja, méghozzá a pk+1 -hez közelebbi harmadolópont. Ha p6 - p5 =1- p5 =x, akkor p5 - p4 =2x, p4 - p3 =4x, p3 - p2 =8x, p2 - p1 =16x, végül p1 - p0 = p1 =32x. Mivel

1= p6 - p0 =( p6 - p5 )+( p5 - p4 )+…+( p1 - p0 )=x+2x+…+32x,

így x= 1 1+2+4+8+16+32 = 1 63 és

p1 = 32 63 ,       p2 = 48 63 ,       p3 = 56 63 ,       p4 = 60 63 ,       p5 = 62 63 .

A kérdezett valószínűség tehát p2 = 48 63 .