Feladat: 10.1. Tíz azonos alakú doboz közül az első 9-ben 4-4 golyó van, mégpedig 2 fehér és 2 kék. A tizedik dobozban 5 fehér és 1 kék golyó van. Az egyik találomra választott dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót.
a) Mennyi a valószínűsége, hogy fehér lesz?
b) A kivett golyó fehér lett. Mennyi a valószínűsége, hogy a tizedik dobozból való?
Megoldás: 10.1
1. megoldás. a) Hibás megoldás
Összesen
42 golyó van és ezekből
23 fehér, tehát
23
42
a kérdezett valószínűség.
Ez a megoldás hibás. Módosítsuk a feladatot! Képzeljük el, hogy az első
9 dobozban egy-egy kék golyó van és fehér golyó egyáltalán nincs bennük, míg a
10. dobozban
81 fehér golyó van és nincs kék! A fenti gondolatmenettel ebben az esetben azt kapnánk, hogy
81
90
=
9
10
a fehér golyó húzásának esélye és
1
10
a kék golyó húzásáé, holott épp fordított a helyzet:
9
10
az esélye, hogy az első
9 doboz valamelyikét választjuk, azaz kéket húzunk és csak
1
10
a valószínűsége, hogy az utolsó dobozt választjuk, azaz fehéret húzunk.
2. megoldás. a)
Mindegyik doboz választása egyforma, mindegyiké
1
10
. Annak esélye, hogy az első dobozból húzunk, és az fehér lesz
1
20
. Tehát ha
F jelöli azt az eseményt, hogy fehéret húzunk,
Ak
k∈{1,2,…,10} pedig azt, hogy az
k. dobozból húzunk, akkor
|
p(
FA1
)=
1
10
·
1
2
=
1
20
,
|
és általában
k∈{1,2,…,9} esetén
p(
FAk
)=
1
20
,
míg
|
p(
FA10
)=
1
10
·
5
6
=
1
12
.
|
Így annak esélye, hogy fehéret húzunk:
|
p(F)=p(
FA1
)+p(
FA2
)+…+p(
FA10
)=9·
1
20
+
1
12
=
8
15
.
|
Az
1. ábrán úgy rajzoltuk a dobozokat, hogy egyenlő nagyságúak legyenek és minden egyes doboznak annyiad részét festettük halványszürkére amennyi a dobozban a fehér golyók aránya. A kérdés az, hogy a teljes területnek - a dobozok összterületének - hányad része a szürke terület.
1. ábra
Most az a kérdés, hogy a fenti szürke területnek hányad része esik a
10. dobozba.
A szürke terület aránya az egészhez
p(F)=
8
15
, a
10. doboz szürke részének aránya az egészhez
p(
FA10
)=
1
12
, így a kérdezett valószínűség:
|
p(
FA10
)
p(F)
=
1
12
8
15
=
5
32
=0,15625.
|