Feladat: 10.2.
Van egy-egy szabályos ,,dobótetraéderünk", dobókockánk és ,,dobóoktaéderünk". Mindegyik test lapjaira egytől kezdve felírtuk az első néhány pozitív egészt, tehát a tetraéderre 1-től 4-ig, a kockára 1-től 6-ig, az oktaéderre 1-től 8-ig. Feldobunk két szabályos érmét. Ha mindkettő fej, akkor a kockával, ha pontosan egyikük fej, akkor a tetraéderrel, ha mindkettő írás, akkor az oktaéderrel dobunk. a) Mennyi az esélye, hogy 1-est dobunk? b) 1-est dobtunk. Mennyi az esélye, hogy pontosan egy fejet dobtunk?
 

Megoldás: 10.2
1. megoldás. Az 1. ábrán felrajzoltuk az eljáráshoz tartozó, az elágazó eseteket szimbolizáló ,,fát", és az egyes valószínűségeket is feltüntettük.

1. ábra

Az ábrán szürkével jelöltük azokat a végállapotokat, amelyekben 1-est dobtunk.

a) A keresett valószínűség leolvasható az ábráról, ha a megfelelő végállapotokhoz tartozó utakon képezzük a valószínűségek szorzatát, majd azok összegét:

1 2 · 1 2 · 1 6 + 1 2 · 1 2 · 1 4 + 1 2 · 1 2 · 1 4 + 1 2 · 1 2 · 1 8 =

= 1 4 ·( 1 6 + 2 4 + 1 8 )= 19 96 ≈0,1979166667.

b) Másként: az 1-eshez vezető

1 2 · 1 2 · 1 6 ,    1 2 · 1 2 · 1 4 ,    1 2 · 1 2 · 1 4 ,    1 2 · 1 2 · 1 8

,,súlyú" szálak között milyen arányú a két középső szál súlya?

1 2 · 1 2 · 1 4 + 1 2 · 1 2 · 1 4 1 2 · 1 2 · 1 6 + 1 2 · 1 2 · 1 4 + 1 2 · 1 2 · 1 4 + 1 2 · 1 2 · 1 8 =

= 1 8 19 96 = 12 19 ≈0,631578947.

 
2. megoldás. Ábrázoljuk az eseteket a valószínűségekkel területarányos ábrán!

1. ábra

A középső szürke sáv egy fej és egy írás dobásának felel meg, ez kétszer akkor, mint akár a két fejnek megfelelő bal oldali sáv, akár a két írásnak megfelelő jobb oldali. Mindegyik függőleges sávot annyi egyforma részre osztottunk, ahány oldala van a neki megfelelő poliédernek és beleírtuk a dobható számokat. Az 1-eseknek megfelelő részt bevonalkáztuk mind a három sávban

a) A kérdés az ábrának megfelelően: határozzuk meg a vonalkázott rész területét a teljes területhez képest! A válasz:

1 4 1 6 + 1 2 1 4 + 1 4 1 8 = 19 96 ≈0,1979166667.

b) A kérdés az ábrának megfelelően: határozzuk meg a vonalkázott szürke rész területét a teljes vonalkázott területhez képest! A válasz:

1 2 1 4 1 4 1 6 + 1 2 1 4 + 1 4 1 8 = 12 19 ≈0,631578947.

 
3. megoldás. Ez a megoldás csak nyelvezetében új az előző megoldásokhoz képest.

Vizsgáljuk az alábbi eseményeket: az érmékkel két fejet ( FF), két írást( FF), illetve egy-egy fejet és írást dobtunk ( FI); 1-est dobtunk ( D1). Ismertek az alábbi valószínűségek:

p(FF)= 1 4 ;      p(FI)= 1 2 ;      p(II)= 1 4 ;

és feltételes valószínűségek:

p(D1|FF)= 1 6 ;      p(D1|FI)= 1 4 ;      p(D1|II)= 1 8 .

Meghatározandó az p(FI|D1) feltételes valószínűség. Az ilyen típusú kérdéseket oldja meg a Bayes-tétel, amelyet az FF, FI, II teljes eseményrendszerre és a D1 eseményre így írhatunk fel:

p(FI|D1)= p(D1|FI)p(FI) p(D1|FF)p(FF)+p(D1|FI)p(FI)+p(D1|II)p(II) ,

azaz

p(FI|D1)= 1 4 · 1 2 1 6 · 1 4 + 1 4 · 1 2 + 1 8 · 1 4 = 12 19 ≈0,631578947.