Feladat: 14.15.
A Bergengóc Lottóban az
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} számok közül húznak ki kettőt (visszatevés nélkül).
a) Melyik a kisebbik szám legvalószínűbb értéke?
b) Határozzuk meg a kisebbik szám várható értékét!
c) Határozzuk meg a kisebbik szám várható értékét, ha az
{1,2,3,…,n}
számok közül húznak ki kettőt!
d) Mennyi a kisebbik szám legvalószínűbb értéke, ha az
{1,2,3,…,n}
számok közül húznak ki kettőt?
Megoldás: 14.15
Egy adott szám akkor lesz a kisebbik kihúzott szám, ha őt kihúzták, és a másik kihúzott szám a nála nagyobb számok közül került ki. Így a kedvező esetek száma könnyen kiszámolható. Alább figyelembe vesszük, hogy összesen
(
n
2
)=(
10
2
)=45 eset van.
Jelölje
χ a legkisebb számot! Ekkor
p(χ=1)=
9
45
; p(χ=2)=
8
45
; p(χ=3)=
7
45
; …;
|
…; p(χ=8)=
2
45
, p(χ=9)=
1
45
, p(χ=10)=0,
|
általában tehát
p(χ=i)=
10-i
45
, ahol
i∈{1,2,3,…,10}.
a) A kisebbik szám legvalószínűbb értéke tehát
1.
b) A kisebbik szám várható értéke:
E=
∑i=1
10i·p(χ=i)=
1·9+2·8+3·7+…+8·2+9·1
45
=
|
=
165
45
=
11
3
≈3,6666666667.
|
c) Mivel most
p(χ=i)=
n-i
(
n
2
)
, így a várható értékre vonatkozó formula ebben az esetben
E=
∑i=1
ni·p(χ=i)=
2
n(n-1)
∑i=1
ni·(n-i).
|
A fenti képlet végén egy összeg áll, amelynek tagjai olyan szorzatok, amelyben a két tényező összege
n. Tehát a szorzótábla
(n-1)-edik átlójában álló számokról van szó. A
K.I.20.79. feladatból tudjuk, hogy ennek az összegnek az értéke
(
n+1
3
), azaz
E=
2
n(n-1)
(
n+1
3
)=
2
n(n-1)
·
(n+1)n(n-1)
3·2
=
n+1
3
.
|
Ez az eredmény összhangban van a b) feladatra kapott speciális esetre vonatkozó eredménnyel.
d) A
p(χ=i+1)
p(χ=i)
=
n-i-1
n-i
|
hányados értéke mindig kisebb
1-nél, tehát
i növekedtével
p(χ=i) értéke is nő, azaz a kisebbik szám legvalószínűbb értéke az
1.