Feladat: 16.42.
Adott az
ABC háromszög és három valós szám,
x,
y,
z, egyikük sem nulla.
a) Tekintsük azt az
A-n átmenő egyenest, amely pontjainak a
b és
c oldaltól vett előjeles távolsága úgy aránylik egymáshoz, mint
y:z, azt a
B-n átmenő egyenest, amely pontjainak az
a és
c oldaltól vett távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint
x:z, végül azt a
C-n átmenő egyenest, amely pontjainak az
a és
b oldaltól vett távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint
x:y. Bizonyítsuk be, hogy e három egyenes vagy egy ponton megy keresztül, vagy mindhárom párhuzamos egymással.
Megjegyzés. Előbbi esetben a közös pontra igaz, hogy a három oldalegyenestől (a szokott sorrendben) vett előjeles távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint
x:y:z.
Ha a sík minden irányához hozzárendelünk egy-egy ,,ideális pontot" (l. a
16.16. feladat megoldását is), akkor ezt a konvenciót használva azt mondhatjuk, hogy az utóbbi esetben a három egyenes közös irányához tartozó ,,ideális pont" a három egyenes közös pontja, és erre teljesül az állításunk.
A továbbiakban egy adott
ABC háromszög esetén e háromszög síkjának minden, a háromszög oldalegyenesein levő pontoktól különböző - valódi és ,,ideális" - pontjához hozzárendeljük az oldalaktól vett előjeles távolságainak arányhármasát. (Az
x:y:z és a
λx:λy:λz arány
λ≠0 esetén természetesen azonos.) Ha a háromszög oldalegyeneseinek pontjait kizárjuk, akkor minden ilyen arányhármas értelmes.
Ez abból következik, hogy ha egy - valós vagy ideális - pont nincs egyik oldalegyenesen sem, akkor a feladat elején definiált három egyenes egyike sem azonos valamelyik oldalegyenessel.
Másrészt ha
xyz≠0, akkor az
x:y:z arányhármashoz a fenti egyenesek közös pontját rendelve minden ilyen arányhármashoz rendeltünk egy pontot, éspedig olyan pontot, amelyik nem illeszkedik egyik oldalegyenesre sem.
b) Bizonyítsuk be, hogy különböző arányhármasokhoz különböző pontok tartoznak.
c) Bizonyítsuk be, hogy ha
x,
y és
z is pozitív, akkor az
x:y:z arányhármashoz valódi pont, a háromszög egy belső pontja tartozik.
Hogy melyik arányhármasokhoz tartozik ,,ideális pont", azt a
16.55. feladat alapján fogjuk jobban látni.
Segítség, útmutatás: 16.42
a) Ha például az első két egyenesnek van közös pontja, akkor ennek a pontnak az
a és
b oldalegyenestől vett előjeles távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint
x/z:y/z=x:y, tehát ez a pont rajta van a harmadik egyenesen is. Ugyanígy bizonyítható, hogy ha valamelyik két egyenes metszi egymást, akkor a metszéspontjukban a harmadik oldalpárnak megfelelő arány is fennáll, tehát a harmadik egyenesen is rajta van a metszéspont.
b) Ha az
x:y:z arányhármas különbözik az
x':y':z' arányhármastól, akkor a két arányhármashoz tartozó három-három egyenes közül legalább egy megfelelő pár különbözni fog. Tehát a három egyenes közös pontja sem lehet azonos a két arányhármas esetén.
c) Ha
x,
y,
z pozitív, akkor mindhárom egyenes áthalad a háromszög belsején, tehát metszik egymást.