Feladat: 1.3.
Kutató munka:
a) Eleme-e
5
Q(2)-nek?
b) Létezik-e olyan
u szám, amelyre igaz, hogy
Q(2,3)=Q(u)? Vagyis: bővítjük a racionális számok számtestét
2-vel és
3-mal. Megkapható-e az így kapott számtest
Q-ból egyetlen elemmel való bővítéssel is?
c) Jellemezzük a b) részben szereplő számtest elemeit a lehető legegyszerűbben!
Az
1.3 feladat kérdése tovább általánosítható, de erre itt most nincs szükségünk. Meg kell azonban említenünk még a következőt. Valójában egy
T test másodfokú bővítésének neveznek minden olyan
u számmal való bővítését, amely gyöke egy olyan másodfokú polinomnak, amelynek együtthatói
T-ből valók. Az eddigiek során lényegében beláttuk, hogy a mi látszatra szűkebb definíciónk - legalábbis valós számmal való bővítés esetén - ugyanerre a fogalomra vezet.
Az érdekesség kedvéért még megemlítjük a következőt feladatot:
Segítség, útmutatás: 1.3
a) A kérdés az, hogy van-e olyan racionális
a és
b, amelyre
5=a+b2. Emeljünk négyzetre, majd használjuk, hogy
2,
5 és
5
2
irracionális.
b) Van ilyen
u szám.
c) A számtest tartalmazza az összes
a+b2+c3 alakú számot, ahol
a,b,c racionális. Bizonyítsuk be, hogy a számtestben szintén szereplő
6 nem áll elő ilyen alakban. Ezután bizonyítsuk be, hogy az
a+b2+c3+d6 alakú számok már számtestet alkotnak.