A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a |
Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány |
Annak ellenére, hogy számos kombinatorikai és gráfelméleti feladatgyűjtemény és tankönyv-jellegű jegyzet van már forgalomban magyar nyelven (ezek közül jónéhányat idézünk is az irodalomjegyzékben), mindmáig nincs ilyen témájú
tagozatos feladatgyűjtemény. De nemcsak a feladatgyűjtemény hiányzik, hanem a tankönyv is. Az egyetlen gráfelméleti tankönyvrészlet, amelyet Hajnal András írt - l. [
180] - utoljára 1973-ban jelent meg az úgynevezett ,,fehér elefánt" tankönyvsorozatban. Ennek pótlására jelen feladatgyűjtemény szerzője elkezdett kialakítani egy weben elérhető feladatgyűjteményt és tankönyvet, l. [
114]. Eddig az alapfogalmakat tárgyaló két fejezet készült el. Az itt következő kötet első tíz fejezetében - de néhány további fejezetben is - ezt jócskán bővítjük és folytatjuk, a készülő GR.II. kötetben pedig a tagozaton tárgyalandó speciális gráfelméleti témákat veszünk sorra.
Az egész feladatgyűjtemény - valamint készülő folytatásai, a szorosabb értelemben vett gráfelméleti (GR.II) és az algoritmuselméleti (ALG.II) kötet - tehát kettős célt akar szolgálni. Egyrészt tankönyv-jellegű, amennyiben előkészítés után bevezeti illetve - többnyire feladatokra bontva - bizonyítja a tananyagba foglalt alapfogalmakat és tételeket, másrészt arra is törekszem, hogy a terjedelem szabta határokon belül átfogó feladatgyűjteményt adjak. A kettő a tagozatos didaktikai elveknek megfelelően természetesen kapcsolódik össze.
Mindemellett a legfontosabb célom az, hogy bemutassam az egyes kombinatorikai
alapgondolatokat, például a skatulyaelvet, az állapotfüggvényes meggondolásokat, vagy a ,,vegyük a legnagyobbat, legszélsőt" alapötlet sokféle, sokirányú kiaknázási lehetőségét. Ebből szokatlan felépítés következik. Így például a kombinatorikus geometria fejezet számtalan más fejezetben szereplő feladat felsorolásával kezdődik. Másutt egész tételsorok kerültek egy-egy ilyen alapgondolatot körüljáró fejezetbe. A Turán- és Ramsey-típusú tételek és feladatok itt is, majd a gráfelmélet speciális témáit tárgyaló kötet GR.II. kötetben is a skatulyaelvről szóló fejezetsor részeként kerülnek tárgyalásra.
A célkitűzésekből következik az is, hogy nem tudok
minden, a 9.-10. osztályos tananyaghoz tartozó témát
ebben a kötetben tárgyalni, hiszen ez szétfeszítene minden terjedelmi keretet. Válogatni kellett a témákból, így a következő döntésre jutottam. Jelen kötetben a gráfelméleti alapfogalmak bevezetésére szánok nagy terjedelmet, lévén, hogy ilyen témájú gimnazista tankönyv nem létezik. A kombinatorikából kiválasztottam a ,,
vegyük a legnagyobbat, legkisebbet, legszélsőt" elvét, a
skatulyaelvet, s ezeket tárgyalom behatóbban. Emellett külön fejezet szolgál a ,,
tetszőlegesen sok - végtelen sok" fogalompár alaposabb megvilágítására, aminek megkülönböztetése sok fejtörést okoz tapasztalatom szerint. Ez a téma a kompaktság fogalmáig mutat előre. (A felismerés tudtommal König könyvéből, az első gráfelméletkönyvből ered.) A teljes indukció általában nagyobb teret kap a tankönyvekben, feladatgyűjteményekben, ezért itt nem szántam rá külön fejezetet, bár jócskán szerepelnek vele megoldható feladatok. A kombinatorikai kötet folytatásában szándékozom rá kiemelten visszatérni, mint ahogy a szita-formulára is. A gráfelmélet témakörét a GR.II. kötet fogja folytatni. Az algoritmusokkal az ALG.II. kötet fog foglalkozni, ott fogjuk az itt is szereplő állapotfüggvény fogalmát behatóbban tanulmányozni, széleskörű felhasználhatóságát bemutatni. A leszámlálási feladatokat sem akartam teljesen kihagyni - sajnos ma is erős az a hiedelem, hogy ezek adják ,,a" kombinatorika lényegét. A kombinatorikus geometria fejezetet is folytatni szándékszom.
Témája a kötetnek - és folytatásainak - az is, hogy úgy a skatulyaelv, mint a ,,vegyük a legszélsőt" gondolat és a többi kombinatorikai fogalom is a matematika számos területén milyen jól használható. Sikernek könyvelném el, ha e feladatgyűjtemény közelebb segítene annak megértéséhez és megértetéséhez, hogy a kombinatorika valójában inkább egyfajta gondolkodás- és látásmód, ami egyaránt hatásos a matematika számos területén, a számelmélettől a csoportelméleten, a geometrián és a gráfelméleten keresztül egészen a topológiáig (ez utóbbi csak a 11-12. osztályos kötetben fog előkerülni, bár például a König-lemma már itt is szerepel). A valószínűség és a kombinatorika kapcsolata viszont túlzottan nagy hangsúlyt kap az oktatásban és ez zavaróan hat a specifikus valószínűségszámítási látásmód kialakítására. Ezért a kettő kapcsolatát inkább a valószínűségszámítási, remélhetőleg mihamarabb létrejövő kötetre hagytam.
Remélem, sikerült alapos, ám szórakoztató, kedvcsináló feladatgyűjteményt összeállítani.
Surányi László